Джордан Элленберг

Est modus in rebus, sunt certi denique fines,
Quos ultra citraque nequit consistere rectum .

Мера должна быть во всем, и всему есть такие пределы,
Дальше и ближе которых не может добра быть на свете!

Хорошее знание Евклида освободило бы мир от половины его бедствий, изгнав половину бессмыслицы, которая вводит его в заблуждение и причиняет мучения.

К середине XIX века геометрия переместилась из колледжей в старшие классы школ, однако в типичном курсе Евклид стал чем-то вроде музейного экспоната: его доказательства следовало запомнить, воспроизвести и в какой-то степени оценить. О том, как кто-то их придумал, не было и речи. Сам создатель доказательств практически исчез: один писатель того времени заметил, что «многие молодые люди [12] читают шесть книг “Начал”, прежде чем случайно узнают, что Евклид — это не название предмета, а имя человека, который о нем написал». Таков парадокс образования: то, чем мы больше всего восхищаемся, мы укладываем в коробочку и засовываем ее в ящик.

Конечно, существует и другой способ преподавать геометрию, который делает упор на изобретательность и пытается поместить учащегося в кресло Евклидова пилота, чтобы тот мог самостоятельно создавать определения и смотреть, что из них получится. Один из таких учебников, «Изобретательная геометрия», исходит из предпосылки, что «единственное настоящее образование — это самообразование». Не смотрите на конструкции других людей, советует книга, «по крайней мере пока не откроете собственную конструкцию», — и вы не будете беспокоиться и сравнивать себя с другими учениками: все занимаются в собственном темпе, и вы с большей вероятностью усвоите материал, если вам нравится им заниматься. Сама книга — всего лишь последовательность из 446 головоломок и задач. Одни достаточно просты: «Можете ли вы нарисовать три угла двумя прямыми линиями? А четыре угла двумя прямыми линиями?» У других, как предупреждают авторы, на самом деле не может быть решения, и вы оказываетесь в положении настоящего ученого12.

Во введении в «Изобретательную геометрию» говорится, что геометрия имеет «место в образовании всех людей, не исключая женщин»: автор книги, Уильям Джордж Спенсер, — один из первых поборников совместного обучения.

Вас просят трактовать нечто как аксиому, но если мы что-то и обязаны выучить из истории геометрии, так это то, что нельзя включать аксиому в свою книгу, пока она не доказала свою реальную ценность.

Всегда скептично относитесь к любому, кто говорит, что он «просто логичен».

Но я бы не сказал, что это одно и то же определение. Существуют и другие варианты. Более современно было бы определить равнобедренный треугольник как палиндромный: треугольник, который вы можете взять, перевернуть, положить обратно, и он при этом не изменится.

Здесь мы сталкиваемся со свойством, впервые обнаруженным Абрахамом де Муавром в XVIII веке (правда, он изучал не комаров, а подбрасывание монет): среднее отклонение числа орлов от половины при n подбрасываниях монеты определяется квадратным корнем из n.

Все это нам известно из труда Виженера Traicté des Chiffres ou Secrètes Manières d’Escrire («Трактат о цифрах и тайнописи»), который стал стандартным справочником по криптографии,

А для чего нужна эта умственная дисциплина? Может быть, на случай, если в какой-то момент будущей жизни им понадобится окончательно и неопровержимо доказать, что сумма внешних углов многоугольника равна 360 градусам? Я все жду, когда же это произойдет, но пока безрезультатно.

Основная причина обучения детей формулированию доказательств вовсе не в том, что мир полон доказательств, а в том, что мир полон недоказательств, и взрослым людям нужно знать разницу. Трудно согласиться с недоказательством, если вы реально знакомы с подлинником.